8. Flexión simple

8.1. Introducción.

En flexión simple, en una sección cualquiera existirá momento flector y esfuerzo cortante. El momento flector origina tensiones s que se calculan, tal como hemos visto, por la fórmula de Navier. Como en flexión simple el momento flector no permanece constante a lo largo de la viga, cada sección tendrá una curvatura diferente.

El esfuerzo cortante V, como veremos, origina tensiones ζ y en consecuencia alabeo en la sección.

8.2. Tensión cortante originada por esfuerzo cortante.

Supongamos la viga de la figura. El V en el punto a va a originar dos tensiones cortantes; una horizontal tH y otra vertical tV, las cuales son iguales y de sentido contrario por actuar en dos caras perpendiculares. A la resultante de las tensiones tH a lo largo de la viga se las llama esfuerzo de desgarramiento longitudinal.

Supongamos que la sección de la viga sea rectangular de dimensiones b y h. Para hallar la tensión en el punto a cortamos a la viga por 2 secciones infinitamente próximas a a en las que existen momentos flectores M y M + dM. Estos momentos flectores originan s cuyas resultantes de las partes rayadas vamos a llamar R y R + dR respectivamente.

La única forma de que este elemento esté en equilibrio es que en las caras de arriba existan unas tensiones que vamos a suponer uniformes, y cuya resultante valga dR.

Se demuestra que:

donde: V = esfuerzo cortante que actúa en la sección.

Me = momento estático respecto de la línea neutra.

b = ancho de la sección.

ILN = momento de inercia de toda la sección respecto de la línea neutra.

8.2.1. Diagrama de ζ para la sección rectangular.

En la sección rectangular el diagrama de ζ es:

En los puntos en los que t es máxima, s se anula y viceversa.

8.2.2. Diagrama de t para la sección doble T.

En una sección doble T, el diagrama de t es:

Se observa como la tensión cortante en las alas es despreciable. Por tanto:

8.2.3. Diagrama de t para la sección circular.

Se puede demostrar que la tensión cortante en los puntos de la periferia de una sección circular tiene dirección tangencial.

De igual manera, se puede demostrar que a lo largo de la línea a-a, las tensiones cortantes pasan por el punto P.

La componente vertical tV tiene el mismo sentido que el esfuerzo cortante V, ya que V es la resultante de todas las tV de la sección.

donde:

Por tanto:

En las fórmulas anteriores, se ve que tV y ta son máximas cuando y = 0, es decir, en los puntos de la línea neutra.

8.3. Círculo de Morh de un punto de una sección de la viga.

Sea la viga de la figura. Cortando por la sección 1-1 y quedándonos con la parte izquierda, en el punto a existirá una sa y una ta.

Aislando un elemento infinitesimal alrededor del punto a y representando las tensiones a las que está sometido, tendremos:

El círculo de Morh será:

Las tensiones principales valdrán:

EJEMPLO: Dibujar los círculos de Morh para los puntos a, b, c de la sección 1-1 de la viga de la figura. Calcular las tensiones principales de dichos puntos y las direcciones principales.

SOLUCIÓN

SFV = 0 VA + VB = 30.000

SMA = 0 30.000 × 3 – VB ×4 = 0

de donde : VB = 22.500 kg y VA = 7.500 kg

Si cortamos a la viga por la sección 1-1 y nos quedamos con la parte izquierda de la viga, tendremos:

SFV = 0 7.500 – 2.000 – V = 0de donde : V = – 12.500 kgSMA = 0 7.500× 4 – 20.000 × 2 – M = 0de donde : M = – 10.000 mkg

a) Estudio del círculo de Morh del punto a.

ya que y = 0

Aislamos un elemento infinitesimal alrededor de a:

Las tensiones principales son:

s1 = 93,7 kg/cm2 y s2 = – 93,7 kg/cm2

b) Estudio del círculo de Morh del punto b.

Aislamos un elemento infinitesimal alrededor de b:

Las tensiones principales son:

s1 = 756,5 kg/cm2 y s2 = 6,5 kg/cm2

c) Estudio del círculo de Morh del punto c.

porque Me = 0

Aislamos un elemento infinitesimal alrededor de c:

Las tensiones principales son:

s1 = 0 kg/cm2 y s2 = -1.500 kg/cm2

8.4. DEFORMACIÓN DEBIDA AL ESFUERZO CORTANTE. ALABEO DE LA SECCIÓN.

Sea la viga de la figura sometida a la carga P. El esfuerzo cortante V es constante a lo largo de la viga.

Un punto tal como A tendría las siguientes tensiones t:

Si suponemos la cara izquierda quieta, la de la derecha se desplazará hacia abajo como consecuencia de las tensiones t.Según se vio:

g = t / G

Si el reparto de tensiones en la sección 1-1 fuera uniforme, todos los puntos tendrían la misma distorsión g.

En este caso la sección no se alabea porque todos los puntos tienen la misma distorsión angular g.

Si la sección fuera rectangular, sabemos que el reparto de t es parabólico. En este, caso cada punto tendría una distorsión distinta siendo máxima en el centro y nula en los extremos. Para que esto pueda suceder la sección se ha de alabear.

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